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微分方程、动力系统与混沌导论
Morris W. Hirsch, Stephen Smale, Rober L. Deveney, 甘少波 译……第一章讨论一阶方程。我们先讨论线性微分方程以及合理生物总量模型。我们讨论带收割的合理模型,这里既有常值收割也有周期收割。这使得我们可以很快地进入分岔以及描述庞加莱映射和周期解。……
第二章到第六章讨论线性微分方程系统。整个第二章和第三种都是讨论平面微分方程系统和二维线性代数。第五章和第六章介绍了高维线性系统,然而我们的重点仍然只是三维和四维系统,而不是最一般的$n$维系统,虽然我们所描述的许多技巧都可以……
第二部分是本书的核心。这里我们转而讨论非线性系统。在与线性系统不同,讨论非线性系统会出现一些理论上的困难,这些困难包括解的存在性和唯一性,结对初始条件和参数的连续依赖性,等等。我们并不立刻就陷入这些困难的理论问题,因为讨论这些问题需要相当坚实的实分析基础。第七章我们只是简单陈述一些重要记过,同时通过一些例子来解释这些定理说了什么,所有这些结果的证明都放在本书的最后一章。
本书非线性部分的开始几张我们介绍了一些重要技巧,这些技巧包括平衡点附近的线性化、零点集分析、稳定性,极限基以及分岔理论。在这一部分的后面几章,我们将这些想法运用到生物学、电子工程、力学等许多领域中产生的各种系统。
……
本书最后一部分专门讨论高维系统的复杂非线性行为,即所谓的混沌行为。我们通过著名的洛伦兹微分方程系统来引入这些思想。在三维和更高维的情形,我们常常将理解微分方程复杂行为的约化成对一个离散动力系统或迭代映射的理解。因而我们需要暂时转入离散系统的领域,同时讨论怎样用符号动力学来完全描述某些混沌系统。然后我们再回到非线性微分方程,并且这些技巧运用到其他混沌系统,其中包括出现同宿轨的系统
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